当我们已知一个系统的闭环传递函数时候，我们通常有两种方法来判断系统的稳定性。第一种是时域分析方法，可以观察闭环传递函数的阶跃响应；第二种是频域分析法，可以观察闭环传递函数的频率响应。频域分析方法中，伯德图一般被广泛使用。这两种分析方法都可以借助Matlab工具得到直观的曲线，非常有助于我们对问题的分析。

Note1：时域分析时，除了常用的阶跃信号作为输入激励外，还常使用脉冲信号和斜坡信号作为激励。Note2：频域分析法，我们既可以选择环路增益的伯德图，也可以选择闭环传递函数的伯德图。

以一个非常有代表性的标准二阶系统为例，可以通过Matlab研究该系统的特性。其闭环传递函数如下（公号不支持公式编辑也真是个亮点，直接上图吧）：下面针对公式2进行分析。01 时域

当ζ取不同的值时，该系统的阶跃响应会是怎样的呢？设计如下所示的Matlab代码。仿真波形如图1所示，三维波形如图2所示。

% G（s）=ωn^2/（s^2+2ζωn s+ωn^2 ）.whenωn=1，research unit-step response

% with different ζvalues.

%------------------------------------------------------------------------

t=0:0.2:10;

zt=［0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0］;

for n=1:6

num=［1］;

den=［1 2*zt（n） 1］;

［y（1:51，n），x，t］=step（num，den，t）;

［y（1:51，n），x，t］=impulse（num，den，t）;

end

plot（t，y）

grid

title（‘plot of unit_step response curves with omega_n=1 and zeta=0.1，0.2，0.4，0.6.0.8，1.0’）

xlabel（‘t secs’）

ylabel（‘response’）

text（3.7，1.7，‘zeta=0.1’）

text（3.5，0.8，‘zeta=1.0’）

% to plot a three-dimensional diagram，enter the command mesh（t，zeta，y‘）

figure（2）

mesh（t，zt，y’）

title（‘three-dimensional plot of unit-step response curves’）

xlabel（‘t secs’）

ylabel（‘zeta’）

zlabel（‘response’）

图 1 ζ取不同值时的闭环阶跃响应曲线

图 2 ζ取不同值时的三维图形

当ζ从0不断增大时，系统将逐渐从欠阻尼状态（0＜ζ＜1）过渡到临界阻尼状态（ζ=1）再过渡到过阻尼状态（ζ＞1）。

观察闭环阶跃响应曲线，当ζ＜0.6时， 亿配芯城 系统表现出很大的减幅振荡；当ζ≥0.6时，系统趋于稳定，可以看到ζ=1.0时已非常稳定。也可以发现，当系统的稳定性有保障之后，响应速度随着ζ越大而越来越慢。在工程控制中，为了平衡系统稳定性和响应速度，ζ一般取0.707。

02 频域

其实也可以在频域上观察系统的稳定性，设计如下的Matlab代码，仿真结果如图3所示。

% G（s）=ωn^2/（s^2+2ζωn s+ωn^2 ）.whenωn=1，the plot of bode digram

% with different ζvalues.

%------------------------------------------------------------------------

zt=［0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1］;

%zt=［0.1:0.1:1］;

for n=1:6;

num=［1］;

den=［1 2*zt（n） 1］;

G=tf（num，den）;

hold on;

bode（G）

end

grid

title（‘plot of bode diagram with omega_n=1 and zeta=0.1，0.2，0.4，0.6.0.8，1.0’）

图 3 ζ取不同值时的闭环频率响应曲线

观察闭环频率响应曲线，因为ωn=1，发现1rad/s附近有好几条曲线具有正的增益，这其实是系统不稳定的表现。重点观察ζ=0.1时的曲线，因为ωn=1时，所以曲线在大约1rad/s处出现尖峰（意味着极大增益），实际会表现为振荡。同理，如果ωn=2，ζ=0.1时曲线会在2rad/s附近出现尖峰。（注：如果ζ=0，会发现在ωn处有无穷大增益）。工程控制中一般取ζ=0.707是非常有道理的，此时系统在稳定性和响应速度方面可以说达到了最好平衡。此时，闭环系统的频响平坦区范围基本上是0~ωn。

03 总结

ζ=0.707时，系统的稳定性和响应速度之间达到最好的折衷，此时闭环频率响应的平坦区范围可到ωn；

ζ=0.707不一定是所有二阶系统的最优选择 ，在稳定性得到保障之后，ζ具体取多大还要看实际系统的具体需求；

一个不稳定的二阶系统，很可能会在ωn附近出现振荡行为；

使用Matlab可以对任意已知传递函数的系统进行阶跃响应、脉冲响应、斜坡响应的分析。脉冲响应可直接使用impulse（num，den，t）命令。斜坡响应较为复杂，没有直接的命令可用。这时就需要进行公式转换，斜坡响应的拉普拉斯表示为1/s2，将其乘以G（s）得到G（s）/s2，因此G（s）的斜坡响应可通过G（s）/s的阶跃响应得到。

参考：

［1］ 现代控制工程，Katsuhiko Ogata，P123~P149

［2］ 控制系统计算机辅助设计，薛定宇，P170~P190

审核编辑：黄飞

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